「ガウス」、「正規分布」、「ガウス ベル」という用語は、数学や統計の研究をしたことがない人でもおそらく知っているでしょう。たとえ読者の心にも何も思い浮かばなかったとしても、ほぼ確実にその内容にある程度の馴染みがあるでしょう。 釣鐘型の曲線 それを表すグラフで説明します。その理由は、人間の知識のさまざまな分野でこのツールが広範囲に使用されていることにあります。その範囲は、物理学から人口学、推計から物流学、生物学から経済学、医学から天文学、心理学から運動科学、金融から経営学まで多岐にわたります。いずれにせよ、ベルグラフを初めて観察する人でも、ベルの中心と端のコントラストがあり、その形状が特徴的であることがすぐにわかります。 完璧な対称性.
正規分布に関連する確率密度の傾向を記述する関数に関する最初の研究は、フランスの数学者によるものでした。 アブラハム・ドゥモアブル (1733 年)、彼の名前を冠し、複素数の累乗を三角関数形式で表現できる公式の父。ドゥ・モアブルは、すでに知られている二項確率分布が、非常に大きなサンプルの場合には釣鐘型になることに最初に気づきました。しかし、彼はドイツの数学者、天文学者、物理学者でした。 カールフリードリヒガウス 彼は 1809 年に、小惑星の軌道の誤差曲線に関する研究の一環として、この分布の公式を取得しました。この発見はガウスの永遠の記憶となり、ごく最近ではドイツ連邦銀行がユーロ発効までドイツで流通する10マルク紙幣の肖像としてガウスの肖像画、彼が使用した数学関数、および関連するグラフを使用したほどである。 。
ド・モアブルもガウスも、研究の対象となった釣鐘型分布を指すために「正規」という用語を使用したことはありません。その傾向を「正常」と同義にし、その形容詞の意味を「習慣」や「平均に従う」という概念に拡張した功績は、ベルギーの天文学者であり統計学者に与えられる。 アドルフケトレット、天文学的な測定が実行された基準を人間と社会の研究に適用することを決定しました。 1850 年頃まで、「標準」は、角度の「真直度」を確立するために使用される測定の分野で使用される、現在も存在する器具にすぎませんでした。ケトレは最も異なる人間の特徴に関する統計を作成し、私たちが個人と社会に関する正常性という現在の考え方を誕生させたのは彼のおかげです。
現在、正規分布は、分類または解釈するのに十分な量のデータを扱う人によって使用される最も重要な分布です。すでに述べたように、平均値は、中央値や最頻値と同様に、分布の中心に正確に位置します。これらの一致する値から遠ざかるにつれて、曲線は X 軸にますます近づきますが、X 軸には決して到達しません (漸近傾向)。最も古典的な一般的な定式化では、正規分布は実際に次のことを表します。 ディストリビューションのファミリー、すべて同じ特徴的な形状をしていますが、ベルは多かれ少なかれ狭くて尖っていたり、幅が広くて平らであったりします。これら 2 つの要素は、次の 2 つのパラメータだけを使用して変更できます。 平均値μ と 標準偏差 σ (または標準偏差)。 μ を変化させることにより、σ を変化させることにより曲線の対称軸を水平に移動させることができますが、曲線は (値が大きい場合) 広がり、(値が小さい場合) 平坦になります。したがって、変数 x が通常の変数と同様に分散されていることを示すには、 X ~ と書きます。 N(μ,σ)。たとえば、測定プロセスによって生成される値は一般に正規分布します。これは、同じ対象物を繰り返し測定すると、機器が常に同じ値を生成するとは限らず、平均値の周囲でわずかな変動が生じるためです。
曲線が相対度数の分布を表す場合、曲線の下の総面積は 1 (相対度数の合計) に等しくなります。したがって、正規分布では、平均の左側の面積は 50/70 (全体の 95%) に等しく、平均の右側の面積も同様です。したがって、面積のほぼ 2% が (x −σ) と (x +σ) の間にあり、2% が (x − 99σ) と (x + 3σ) の間にあり、さらに 3% が (x − XNUMXσ) の間にあります。 ) と (x + XNUMXσ)。これら σ (シグマ) これらはプログラムの基礎であるため、ビジネス プロセスの管理にとって非常に重要です。 品質管理 これは、プロセス全体の可能な限り最良の制御を達成するために、ガウス ベルを使用して正確に開発されました。エレクトロニクス会社が最初に導入 モトローラ、3 年代後半には、4 万個の生産部品のうち XNUMX 個、多くても XNUMX 個の部品のみに欠陥があることを保証するという目標がありました。
このシステムは「」と改名されました。シックスシグマ「まさに、極端な (x − 6σ) と (x + 6σ) の能力のおかげで、機能する生産の 99,99% 以上を保証し、欠陥のある生産の 0,002% だけを除外することができたので、この技術は非常に成功し、他の製品にも広がりました。ゼネラル・エレクトリック、トヨタ、ハネウェル、マイクロソフトなどの大手企業。今日は、その方法として、 6σは、さまざまな大学教育コースの学習プログラムの一部であることに加えて、企業や労働者が非常に求めている認定資格の基礎です。
正規分布によってモデル化された状況の他の例は、すでに紹介したように、 測定時のランダムな誤差 物理量のこと。誤差は過剰または負になる可能性があるため、測定誤差の確率変数は対称的に正または負の値をとる可能性があります。誤差は非常に小さい傾向にあり、むしろ、より大きな誤差は発生しにくいため、両方向で 0 (誤差ゼロ) から遠ざかるにつれて曲線は急速に減少します。
人口科学を扱う人は、その方法をよく知っています。 人口に関係する数量 人々の均一な分布は、母集団のサイズの平均値に等しい μ を持つガウス分布で表すことができます。身長、体重、BMI、血圧値、血糖値、その他多くの測定可能な特性には、適切な µ と σ をもつ正規分布があります。
工場内 スペアパーツの大量生産、生成されるオブジェクトの実際のサイズは、たとえば、最適なサイズを表す平均値 µ を中心に変動する可能性があります。量産を担当する機械を監督する者の目的は、標準偏差 σ をできるだけ小さくすることである可能性があります。
ウェクスラー成人知能指数 (WAIS) は、成人期に使用される最もよく知られた知能検査であり、これに基づいて初めて標準化された IQ スコアを取得することが可能となった検査です (IQ)、平均は 100、標準偏差は 15 です。ここでも、ガウスのような釣鐘曲線に沿って分布する量に直面します。これにより、IQ に基づいて母集団の範囲を特定することができます。たとえば、国際的な「メンサ」協会は、IQ、つまりウェクスラーテストで98以上のスコアに基づいて世界人口の130％に達するかそれを超える人々で構成されています。これは、世界人口のわずか 2% にすぎないことを意味します。
さらに挙げられる例は本当に無限ですが、確かに、提案されている例は、あるものに情熱を注ぐには十分です。 科学的文化 特に、数学的モデルの美しさを見ることができ、現実と数学の間の奇妙な相互適応の魅力に捕らえられる人、つまり人間主義的な芸術文化にほぼ反映されている人です。表現におけるエレガンス.
